Black Swan und die Crux mit statistischen Modellen

Taleb[1] hat in einem Bestseller mit diesem Titel sich intensiv mit der Problematik von statistischen Modellen zur Risikomodellierung auseinandergesetzt.[2] Er übte heftige Kritik an der üblichen Vorgehensweise, die sich nicht zuletzt wegen des zentralen Grenzwertsatzes der Statistik[3] allzu oft mit asymptotischen Ergebnissen bei Normalverteilung[4] auseinandersetzt.  Es ist ein Verfahren um mathematisch-statisch elegante Lösungen abzuleiten. Allerdings stößt dieses Verfahren an Grenzen, wenn die Beobachtungszahlen nicht ausreichen, um die halbwegs genauen Schätzungen von Extremereignissen [5]zu gelangen. In aller Regel werden bei Annahme der Normalverteilung nur der Erwartungswert[6] und die Varianz[7] der theoretischen Verteilung zur Analyse herangezogen. Da die Normalverteilung keine Momente[8] höherer Ordnung besitzt, sind damit auch die Modellparameter der Verteilungsfunktion vollständig charakterisiert. Allerdings ist diese Betrachtungsweise nur dann angemessen, wenn eben unterstellt werden kann, dass man prinzipiell eine über die Zeit stabile Verteilungsfunktion zugrundelegen kann, d.h. der Bedingungs-Ursachen-Komplex zeitinvariant ist. Durch wiederholte Beobachtungen eines Zufallsereignisses lassen sich so homogene Beobachtungsmengen über die gleiche dem Zufallsereignis zugrundeliegenden Zufallsprozess und seiner Verteilungsfunktion gewinnen. Unterliegt jedoch der Zufallsprozess selbst einer Veränderung über die Zeit wird das Ganze Problem sehr viel schwieriger. Die Frage lautet dann ja: Wie kann ich die Veränderungen der zugrundeliegenden Verteilung des Zufallsprozesses von den Beobachtungen auf Basis einer zu einem bestimmten Zeitpunkt gegebenen Verteilungsfunktion trennen? Ist zudem die Zahl der beliebig erzeugbaren Beobachtungen de facto begrenzt, weil sie nicht unter Bedingungen eines kontrollierten Experiments ständig wiederholbar sind, dann treten eben auch Probleme des Gesetzes der kleinen Zahlen auf.[9]

„Nach dem Gesetz der großen Zahlen tritt im langfristigen Mittel jede der 37 Zahlen (beim Roulette – G.E.) mit der gleichen relativen Häufigkeit auf, d. h. ist die Anzahl von Coups genügend groß, so entfällt auf jede einzelne Nummer der gleiche Anteil, nämlich 1/37 = 2,7 %. Betrachtet man mehrere Rotationen und eine im Vorhinein bestimmte Zahl, so wird diese im Mittel in jeder Rotation einmal getroffen. Dies verleitet viele Spieler zum Fehlschluss, dass in einer Serie von 37 Coups jede einzelne Zahl einmal auftritt.

Dies ist aber nicht der Fall; es ist vielmehr extrem unwahrscheinlich, dass jede Nummer genau einmal getroffen wird; die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt nur 1,3·10-15. Trotz der Gleichwahrscheinlichkeit aller Zahlen tritt im Falle einer kleinen Anzahl von Spielen keine Gleichverteilung ein, sondern das obige durch die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung vorgegebene Muster. Auch mit Hilfe des Zwei-Drittel-Gesetzes lässt sich keine Gewinnstrategie finden.“ (Fußnote 8, ebenda).

Dies sind dem geschulten mathematischen Statistiker eigentlich bekannte Zusammenhänge. Leider scheinen sie in der breiten Öffentlichkeit nicht genügend Beachtung zu finden. Man kapriziert sich stattdessen nur allzu oft darin auf Basis der Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsaussagen zu formulieren, die dann als Punktschätzung in der Aussage kulminieren, dass mit einer äußerst geringen Wahrscheinlichkeit mit dem Eintreten eines negativen Ereignisses wie einer Jahrhundertflut, Jahrtausendflut oder einer Finanzmarktsystemkrise oder einem GAU[10] in einem Kernkraftwerk zu rechnen sei. Dadurch wiegt man sich in einer fatalen Sicherheit, dass solche Extremereignisse so selten sind, dass sie de facto auszuschließen seien. Meist wird dann jedoch nach einiger Zeit nach eintreten von einem oder sogar mehreren Extremereignissen die Glaubwürdigkeit dieser fehlerhaften Berechnungen eingeräumt.  Leider entstehen durch dadurch verursachte unzureichende Vorsorge gegen solche Extremereignisse auch extrem hohe Kosten wie uns diverser Tsunamis, Finanzmarktkrisen und jetzt auch erneut Flutkatastrophen wie derzeit in Deutschland belehrt.

Es gilt jedoch bekanntlich, dass Modellfehler[11] auch zu falschen Ergebnissen führen müssen, wenn ich diese auf die missverstandene Realität übertrage. Es liegt nicht nur an fehlerhaften Daten, sondern häufig auch an fehlerhaften Modellvorstellungen, wenn man sich und die Öffentlichkeit in einer falschen Sicherheit wiegt.

Leider scheinen Denkfehler noch schwerer ausrottbar zu sein, wie andere Vorurteile. Die Verhaltensökonomie und –psychologie liefert eine lange Liste solcher Wahrnehmungsverzerrungen, die Menschen immer wieder in die Irre führen.

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2 Gedanken zu „Black Swan und die Crux mit statistischen Modellen

  1. Ja, es ist die unausrottbare Dummheit des Menschen die Wirklichkeit sich schön zu reden, Prinzip Hoffnung, und sich gegen die Realität systematisch abzuschotten. Inwieweit sie als Überlebensregel hilfreich ist, bleibt offen. Wenn der Glaube von Erfolg gekrönt ist, beruft man sich auf den Glauben. Wenn man an seinem Glauben scheitert, dann wird wegen des Schicksals lamentiert. Es fehlt an der notwendigen Selbstkritik.

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